En álgebra, un binomio es la expresión que consta de dos términos, relacionados entre sí por medio de un signo de suma (+) o resta (–). Se puede decir que es la suma o resta de dos monomios. Los binomios, que se pueden representar generalmente como a + b, participan en operaciones matemáticas llamadas productos notables, en las que dos binomios idénticos o distintos se afectan entre sí. Dicho esto, un binomio cuadrado es un binomio que se multiplica por sí mismo: (a + b)2.
Cuando un binomio se multiplica por sí mismo, se expresa en la forma (a + b)*(a + b). Esta operación se pudiera resolver multiplicando término a término, quedando una serie de términos que tendrían que reducirse (van entre paréntesis para distinguir cada uno):
(a*a) + (a*b) + (b*a) + (b*b)
Y sería correcto el resultado. Sin embargo, como este procedimiento pasa muy seguido en álgebra, se ha estandarizado el resultado para no tener que realizar todos los pasos. Se ha estudiado su forma y queda siempre de la siguiente manera:
a2 + 2ab + b2
A estos tres términos se les llama trinomio cuadrado perfecto, porque provienen de resolver un binomio cuadrado y siempre obedecen a esta forma.
Regla del binomio cuadrado
El binomio cuadrado tendría los siguientes pasos si se resolviera término a término:
(a + b)2 = (a + b)*(a + b)
= (a*a) + (a*b) + (b*a) + (b*b)
= a2 + ab + ab + b2
= a2 + 2ab + b2
Habría mucho trabajo por hacer para reducir los cuatro términos, sobre todo si tienen dos o más literales. Puede resultar un proceso confuso y más difícil, por lo que sería posible equivocarse.
Afortunadamente, en el producto notable del binomio cuadrado se tiene una regla que obtiene su resultado sin fallar:
Partiendo de la forma general del binomio al cuadrado (a + b)2 = (a + b)*(a + b)
- Cuadrado del primer término a2
- Más el doble producto del primero por el segundo + 2ab
- Más el cuadrado del segundo + b2
Y esta es la estructura que nos dará el trinomio cuadrado perfecto.
La regla del binomio cuadrado se escribe, entonces:
“Cuadrado del primer término
Más el doble producto del primero por el segundo
Más el cuadrado del segundo”
Y se aplica respetando las leyes de los exponentes. Esto es, cada término que vaya al cuadrado se tiene que elevar al cuadrado. Por ejemplo:
- (a)2 = a2
- (a2)2 = a4
- (ax2)2 = a2x4
- (x3y2) = x6y4
- (xy2z3)2 = x2y4z6
20 ejemplos de binomios cuadrados
- (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
- (x – y)2 = x2 – 2xy + y2
- (2x + 2y)2 = 4x2 + 8xy + 4y2
- (3a – 2b)2 = 9a2 – 12ab + 4b2
- (5w + z)2 = 25w2 + 10wz + z2
- (6m – 7n)2 = 36m2 – 84mn + 49n2
- (4b + 9c)2 = 16b2 + 72bc + 81c2
- (7x – 2y)2 = 49x2 – 28xy + 4y2
- (8z + 3w)2 = 64z2 + 48zw + 9w2
- (t3 + 4v2)2 = t6 + 8t3v2 +16v4
- (3d4 – 7e3)2 = 9d8 – 42d4e3 + 49e6
- (c2 + f)2 = c4 + 2c2f + f2
- (i4 – 9k)2 = i8 – 18i4k + 81k2
- (3d4 – 7e3)2 = 9d8 – 42d4e3 + 49e6
- (dg – xn)2 = d2g – 2dgxn + x2n
- (r6 + qz)2 = r12 + 2r6qz + q2z
- (8a + x4)2 = 64a2 + 16ax4 + x8
- (10d – h)2 = 100d2 – 20dh + h2
- (4 + x)2 = 16 + 8x + x2
- (o – 6)2 = o2 – 12o + 36
Sigue con:
Hola buenas tardes: tu explicación me ha parecido excelente.
Una pregunta: En el ejercicio 10 a mi me sale otro resultado:
= t9+24tv2+16v4
¿Me podrías explicar en que estoy mal?
De antemano muchas gracias por tu atención y tu pronta respuesta. Saludos.
Hola Lily:
Te explico los errores en tu resultado:
cuando elevas al cuadrado una potencia, no significa que la multipliques como si fuera un número de la base, recuerda que en la multiplicación de potencias se multiplica el exponente por la potencia a la que lo elevas. En este caso, como el coeficiente es t3, el exponente es 3, y al elevarlo a la potencia 2, entonces la multiplicación será 3 x 2. Si el exponente fuera 4, entonces sería 4 x 2.
El segundo miembro debe tener la forma 2ab, esto significa que multiplicas el primero miembro (t3) por el segundo (4v2), lo que da como resultado 4t3v2, y como es el doble, entonces será 8t3v2
El resultado del tercer miembro es correcto y es 16v4.
Explicado de otra manera, puedes ver el polinomio multiplicado por cada uno de sus miembros:
(t3 + 4v2)(t3) = t6 + 4t3v2
(t3 + 4v2)(4v2) = 4t3v2 + 16v4
Si ahora sumamos ambos resultados, tenemos: t6 + 4t3v2 + 4t3v2 + 16v4; lo que nos da como resultado t6 + 8t3v2 + 16v4, que es el resultado que obtuvimos en el ejemplo.
Me podrían ayudar con estos problemas
3b-C
X+1
5f+hk
Respuesta de (x+9) 2 (pequeño)
Está superior padre tu sistema
Me pueden ayudar con este ejercicio porfa (W^2-4)^2…
Como resuelvo (4/3xR 3/4y)(4/2x+3/4y)
Ya tuviste respuesta de tu consulta
Hola me ayudan con este ejercicio (a^3x^2 + bg)^2
(2×+3y)2=
(a²×+5²)²=
Hola me pueden ayudar (3xy+9y)2
(7xm+8m)2
(6x+1)2
(2x+1)2
(X-y)2
(X-5)2
a^6 x^4+2bga^3 x^2+b^2g^2 esa es la repuesta
(4b + 9c)2 = 16b2 + 72bc + 81c2
Porque es 72??
Porque 2(4)(9)=(8)(9)=72
si fuera eso entonces porque (r6+qz)2=r12+2r6qz+q2z
porque sale r12????? no sería r36????
doble de 4 es 8 y por 9 es 72
Pues por que la regla dice que es el doble del producto del primer termino por el segundo, entonces multiplicas 4 x 9 y te da 36 y eso lo multiplicas por 2 y te da 72.
Hay algunas que me quedo la duda, por ejemplo
(3a-2b)^2= 9a^2 – 12ab + 4b^2
Hola (3a – 2b)2 = 9a2 -12ab +b2, este ejercicio presenta el error de que el ultimo termino es: el cuadrado de la segunta cantidad. es decir, no sería b2, si no, 4a^2.
En todo caso sería 4b^2