50 Ejemplos de Factorización

En álgebra, la factorización es el procedimiento por el cual un binomio, un trinomio o un polinomio se escribe de forma más sencilla, como un producto de dos o más expresiones algebraicas. Esto ayuda a que este polinomio se maneje más claramente y se encuentren maneras de simplificarlo todavía más, sobre todo cuando participa en una operación con otras expresiones.

Antes que todo, la factorización se basa en un aspecto que hay que observar: en la expresión algebraica que se tenga, hay un factor común. El factor común puede ser una literal (a, b, x, y), o una literal acompañada de un coeficiente y un exponente (3a², 4b³, 2x², 5y²). Dicho de otro modo, el factor común es la parte o el fragmento que está presente en cada término. Que se repite.

Pasos de la factorización

Para factorizar una expresión algebraica, hay que seguir los pasos que se mencionan a continuación:

1. Identificar si el polinomio es el resultado de un producto notable, ya sea que provenga de un binomio al cuadrado, de binomios conjugados, de binomios con término común o de un binomio al cubo. Si lo es, se analizarán los términos para escribir al fin sus binomios raíz.
2. Si se trata de cualquier polinomio, detectar el factor común: Se identifica la literal (junto a su coeficiente y exponente, en su caso) que esté presente a la vez en todos los términos de la expresión, y que multiplicado por algunos factores más simples resulte en el polinomio original.
3. Escribir el factor común.
4. Después de él, abrir un paréntesis para poner los factores simplificados.

Para un trinomio cuadrado perfecto:

x² + 4x + 4

1. Los tres términos provienen de un binomio al cuadrado, dado que componen un trinomio cuadrado perfecto.
2. El trinomio x² + 4x + 4 resulta de multiplicar (x + 2)*(x + 2). Estos son los factores más simples que se obtienen con su factorización. Se podrán realizar más operaciones con ellos.

Para un polinomio cualquiera:

x⁴ + 3x³ + 5x²y + 2x²

1. El factor común es x², que multiplicado por otros factores resulta en los que se tienen en el ejemplo.
2. Se escribe x².
3. Se completa con los factores que deben multiplicarle para obtener la expresión principal:

x²*(x² + 3x + 5y + 2)

50 ejemplos de factorización

1. x² + 2x + 1 = (x + 1)*(x + 1)
2. x⁴ + 2x² + 1 = (x² + 1)*(x² + 1)
3. 4x² + 4x² + 1 = (2x + 1)*(2x + 1)
4. x² + 4x + 4 = (x + 2)*(x + 2)
5. x² + 2xy + y² = (x + y)*(x + y)
6. x² – y² = (x + y)*(x – y)
7. a² – 4 = (a + 2)*(a – 2)
8. a² – 16 = (a + 4)*(a – 4)
9. x⁴ – y² = (x² + y)*(x² – y)
10. a²b⁴ – x²y² = (ab² + xy)*(ab² – xy)
11. 4a³ + 6a²b – 2ab⁴ = 2a (2a² + 3ab – b⁴)
12. 6xy³ – 12mx²y² + 3m²x⁴y³ = 3xy(2y² – 4mxy + mx³y²)
13. mx + 2m + x + 2 = m*(x+2) + x + 2
14. 2x*(x + y + z) – x – y – z = (x + y + z)*(2x – 1)
15. (m – n) (x + 2) + c(x + 2) = (x + 2) (m – n + c)
16. ax + bx + ay + by = (a + b)(x + y)
17. ax + ay + x –y + z = (x – y + z) (a + 1)
18. m² + 2m + 1 = (m + 1)*(m + 1)
19. 16x⁴ -16x²y + 4y² = (4x² – 2y)*(4x² – 2y)
20. 9x²– 16z⁴ = (3x + 4z²)*(3x – 4z²)
21. x^2 – 4 = (x – 2)(x + 2)
22. x^2 + 4x + 4 = (x + 2)(x + 2)
23. x^2 – 9 = (x – 3)(x + 3)
24. x^2 + 6x + 9 = (x + 3)(x + 3)
25. x^2 – 16 = (x – 4)(x + 4)
26. x^2 + 8x + 16 = (x + 4)(x + 4)
27. x^2 – 25 = (x – 5)(x + 5)
28. x^2 + 10x + 25 = (x + 5)(x + 5)
29. x^2 – 36 = (x – 6)(x + 6)
30. x^2 + 12x + 36 = (x + 6)(x + 6)
31. x^2 – 49 = (x – 7)(x + 7)
32. x^2 + 14x + 49 = (x + 7)(x + 7)
33. x^2 – 64 = (x – 8)(x + 8)
34. x^2 + 16x + 64 = (x + 8)(x + 8)
35. x^2 – 81 = (x – 9)(x + 9)
36. x^2 + 18x + 81 = (x + 9)(x + 9)
37. x^2 – 100 = (x – 10)(x + 10)
38. x^2 + 20x + 100 = (x + 10)(x + 10)
39. x^2 – 121 = (x – 11)(x + 11)
40. x^2 + 22x + 121 = (x + 11)(x + 11)
41. x^2 – 144 = (x – 12)(x + 12)
42. x^2 + 24x + 144 = (x + 12)(x + 12)
43. x^2 – 169 = (x – 13)(x + 13)
44. x^2 + 26x + 169 = (x + 13)(x + 13)
45. x^2 – 196 = (x – 14)(x + 14)
46. x^2 + 28x + 196 = (x + 14)(x + 14)
47. x^2 – 225 = (x – 15)(x + 15)
48. x^2 + 30x + 225 = (x + 15)(x + 15)
49. x^2 – 256 = (x – 16)(x + 16)
50. x^2 + 32x + 256 = (x + 16)(x + 16)

10 ejemplos de factorización de trinomio cuadrado perfecto

1. x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2
2. x^2 – 4x + 4 = (x – 2)^2
3. y^2 + 6y + 9 = (y + 3)^2
4. y^2 – 6y + 9 = (y – 3)^2
5. z^2 + 8z + 16 = (z + 4)^2
6. z^2 – 8z + 16 = (z – 4)^2
7. a^2 + 10a + 25 = (a + 5)^2
8. a^2 – 10a + 25 = (a – 5)^2
9. b^2 + 12b + 36 = (b + 6)^2
10. b^2 – 12b + 36 = (b – 6)^2

10 ejemplos de factorización de un binomio

1. x^2 – 4 = (x – 2)(x + 2)
2. y^2 – 9 = (y – 3)(y + 3)
3. x^2 – 16 = (x – 4)(x + 4)
4. y^2 – 25 = (y – 5)(y + 5)
5. x^2 – 36 = (x – 6)(x + 6)
6. y^2 – 49 = (y – 7)(y + 7)
7. x^2 – 64 = (x – 8)(x + 8)
8. y^2 – 81 = (y – 9)(y + 9)
9. x^2 – 100 = (x – 10)(x + 10)
10. y^2 – 121 = (y – 11)(y + 11)

10 ejemplos de factorización de un trinomio

1. x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2
2. x^2 – 4x + 4 = (x – 2)^2
3. y^2 + 6y + 9 = (y + 3)^2
4. y^2 – 6y + 9 = (y – 3)^2
5. z^2 + 8z + 16 = (z + 4)^2
6. z^2 – 8z + 16 = (z – 4)^2
7. a^2 + 10a + 25 = (a + 5)^2
8. a^2 – 10a + 25 = (a – 5)^2
9. b^2 + 12b + 36 = (b + 6)^2
10. b^2 – 12b + 36 = (b – 6)^2

10 ejemplos de factorización de un polinomio

1. x^3 – x^2 – x + 1 = (x – 1)(x^2 + x + 1)
2. x^4 – 1 = (x^2 – 1)(x^2 + 1)
3. x^5 – x^4 – x^3 + x^2 + x – 1 = (x – 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)
4. x^6 – x^3 – x^2 + 1 = (x^3 – x^2 – x + 1)(x^3 + 1)
5. x^8 – x^4 – x^3 + 1 = (x^4 – x^3 – x + 1)(x^4 + 1)
6. x^7 – x^5 – x^4 + x^2 + x – 1 = (x – 1)(x^6 + x^5 + x^4 + x^2 + x + 1)
7. x^9 – x^6 – x^5 + x^3 + x^2 – x + 1 = (x – 1)(x^8 + x^6 + x^5 + x^3 + x^2 + x + 1)
8. x^10 – x^5 – x^4 + 1 = (x^5 – x^4 – x + 1)(x^5 + 1)
9. x^12 – x^6 – x^4 + 1 = (x^6 – x^4 – x^2 + 1)(x^6 + 1)
10. x^8 + 14x^6 + 36x^4 + 49x^2 + 36 = (x^4 + 7x^2 + 6)(x^4 + 7x^2 + 6)

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