Un teorema es una afirmación demostrada a partir de axiomas, definiciones y resultados anteriores. Estos diez ejemplos presentan su hipótesis, su conclusión y una comprobación concreta sin confundir un caso numérico con una demostración general.
Qué es un teorema
Todo teorema tiene condiciones bajo las que se aplica y una conclusión. La demostración justifica que la conclusión vale para todos los casos cubiertos por esas condiciones.
Teorema, axioma, propiedad y demostración
| Concepto | Función |
|---|---|
| Axioma | Punto de partida aceptado dentro de un sistema. |
| Teorema | Proposición demostrada a partir de bases previas. |
| Propiedad | Característica que puede derivarse de definiciones o teoremas. |
| Demostración | Cadena lógica que justifica la conclusión. |
10 ejemplos de teoremas explicados
Los casos pertenecen a geometría, aritmética, álgebra, combinatoria y probabilidad; ninguno se repite con otro nombre.
- 1
Teorema de Pitágoras
Hipótesis: el triángulo es rectángulo. Conclusión: el cuadrado de la hipotenusa es a² + b² = c². Ejemplo: con catetos 3 y 4, c² = 9 + 16 = 25 y c = 5.
- 2
Teorema de Tales de proporcionalidad
Hipótesis: una recta paralela a un lado corta los otros dos lados de un triángulo. Conclusión: los segmentos correspondientes son proporcionales. Ejemplo: 4/6 = 6/9 = 2/3.
- 3
Teorema del segmento medio
Hipótesis: un segmento une los puntos medios de dos lados de un triángulo. Conclusión: es paralelo al tercer lado y mide la mitad. Ejemplo: si el tercer lado mide 10, el segmento mide 5.
- 4
Suma de ángulos de un triángulo
Hipótesis: el triángulo pertenece a la geometría euclidiana. Conclusión: sus ángulos interiores suman 180°. Ejemplo: con 50° y 60°, el tercer ángulo mide 70°.
- 5
Teorema de la infinitud de los primos
Hipótesis: se usan los números naturales y la definición usual de número primo. Conclusión: existen infinitos números primos. Ejemplo ilustrativo: 2 × 3 × 5 + 1 = 31 no es divisible por 2, 3 ni 5; este caso no sustituye la demostración.
- 6
Teorema fundamental de la aritmética
Hipótesis: el número es un entero mayor que 1. Conclusión: posee una factorización prima única, salvo el orden de los factores. Ejemplo: 360 = 2³ × 3² × 5.
- 7
Teorema del resto
Hipótesis: se divide un polinomio P(x) entre x-a. Conclusión: el resto es P(a). Ejemplo: para P(x)=x³-4x+1 y a=2, P(2)=8-8+1=1.
- 8
Teorema del binomio
Hipótesis: n es un entero no negativo y a y b son números reales. Conclusión: (a+b)^n se expande con coeficientes binomiales. Ejemplo: para n=3, (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³; con a=2 y b=1, ambos lados valen 27.
- 9
Teorema de Euler para poliedros convexos
Hipótesis: el poliedro es convexo. Conclusión: sus vértices, aristas y caras cumplen V-E+F=2. Ejemplo: en un cubo, 8-12+6=2.
- 10
Teorema de Bayes
Hipótesis: los sucesos A y B tienen P(B)>0. Conclusión: P(A|B)=P(B|A)P(A)/P(B). Ejemplo: con prevalencia 1 %, sensibilidad 90 % y falso positivo 5 %, P(enfermedad|positivo)=0,009/(0,009+0,0495)=0,153846.
Cómo leer y aplicar un teorema
- Identifica las hipótesis.
- Comprueba que el problema las cumple.
- Escribe la conclusión exacta.
- Aplica la fórmula o relación sin presentarla como demostración.
Relaciona estos casos con números primos, factorización, distribución binomial y analogías matemáticas.
Errores frecuentes al estudiar teoremas
Evita estas confusiones al aplicar el procedimiento.
Omitir las hipótesis
Una fórmula puede dejar de ser válida cuando no se cumplen sus condiciones.
Confundir ejemplo con prueba
Verificar 3-4-5 no demuestra por sí solo el teorema de Pitágoras.
Usar el mismo nombre para resultados distintos
El teorema de Tales debe identificarse por su enunciado concreto.
Ejercicios sobre teoremas
Distingue hipótesis, conclusiones y comprobaciones.
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Preguntas frecuentes sobre teoremas
¿Todo teorema tiene una fórmula?
No. Algunos expresan existencia, unicidad, infinitud o relaciones lógicas sin una fórmula de cálculo.
¿Un teorema puede tener varias demostraciones?
Sí. Métodos distintos pueden justificar la misma conclusión.
¿Qué diferencia hay entre teorema y conjetura?
Una conjetura aún no cuenta con una demostración aceptada; un teorema sí.
¿Comprobar muchos casos demuestra un teorema?
No necesariamente. Una demostración debe cubrir todos los casos indicados por el enunciado.
Información editorial y cita
Cita APA (7.ª edición)
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Responsable editorial
Editorial Ejemplode
Actualización
1 de agosto de 2026
Publicado el 9 de abril de 2013.
Criterios de revisión
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