Estos ejemplos muestran hipérbolas matemáticas completas, no objetos que solo se les parecen. Cada caso relaciona una ecuación con su plano cartesiano y permite verificar centro, orientación, vértices, focos, asíntotas y un punto de la curva.
10 ejemplos de hipérbolas
En cada caso, la curva azul corresponde a la ecuación indicada. El plano usa la misma escala en ambos ejes; las marcas V señalan los vértices, F los focos y las rectas verdes discontinuas son las asíntotas.
- 1
Centro en el origen y eje horizontal
x²/9 − y²/16 = 1. Plano cartesiano didáctico a escala uniforme. Ecuación: x²/9 − y²/16 = 1
Orientación: Horizontal: las ramas abren a izquierda y derecha.
Centro: (0, 0).
Vértices: (−3, 0) y (3, 0).
Focos: (−5, 0) y (5, 0); se usa c² = a² + b², por lo que c = 5.
Asíntotas: y = ±(4/3)x.
Comprobación: el punto (3.75, 3) pertenece porque 3.75²/9 − 3²/16 = 1.
- 2
Centro en el origen y eje vertical
y²/16 − x²/9 = 1. Plano cartesiano didáctico a escala uniforme. Ecuación: y²/16 − x²/9 = 1
Orientación: Vertical: las ramas abren hacia arriba y abajo.
Centro: (0, 0).
Vértices: (0, −4) y (0, 4).
Focos: (0, −5) y (0, 5); se usa c² = a² + b², por lo que c = 5.
Asíntotas: y = ±(4/3)x.
Comprobación: el punto (2.25, 5) pertenece porque 5²/16 − 2.25²/9 = 1.
- 3
Traslación al centro (2, −1)
(x − 2)²/4 − (y + 1)² = 1. Plano cartesiano didáctico a escala uniforme. Ecuación: (x − 2)²/4 − (y + 1)² = 1
Orientación: Horizontal: las ramas abren a izquierda y derecha.
Centro: (2, −1).
Vértices: (0, −1) y (4, −1).
Focos: (2 − √5, −1) y (2 + √5, −1); se usa c² = a² + b², por lo que c = √5.
Asíntotas: y + 1 = ±(1/2)(x − 2).
Comprobación: el punto (4.5, −0.25) pertenece porque 2.5²/4 − 0.75² = 1.
- 4
Traslación al centro (−2, 1)
(y − 1)²/4 − (x + 2)²/9 = 1. Plano cartesiano didáctico a escala uniforme. Ecuación: (y − 1)²/4 − (x + 2)²/9 = 1
Orientación: Vertical: las ramas abren hacia arriba y abajo.
Centro: (−2, 1).
Vértices: (−2, −1) y (−2, 3).
Focos: (−2, 1 − √13) y (−2, 1 + √13); se usa c² = a² + b², por lo que c = √13.
Asíntotas: y − 1 = ±(2/3)(x + 2).
Comprobación: el punto (0.25, 3.5) pertenece porque 2.5²/4 − 2.25²/9 = 1.
- 5
Asíntotas con pendientes ±1
(x − 1)²/16 − (y − 2)²/16 = 1. Plano cartesiano didáctico a escala uniforme. Ecuación: (x − 1)²/16 − (y − 2)²/16 = 1
Orientación: Horizontal: las ramas abren a izquierda y derecha.
Centro: (1, 2).
Vértices: (−3, 2) y (5, 2).
Focos: (1 − 4√2, 2) y (1 + 4√2, 2); se usa c² = a² + b², por lo que c = 4√2.
Asíntotas: y − 2 = ±(x − 1).
Comprobación: el punto (6, 5) pertenece porque 5²/16 − 3²/16 = 1.
- 6
Eje vertical con semiejes 3 y 2
(y + 2)²/9 − (x + 3)²/4 = 1. Plano cartesiano didáctico a escala uniforme. Ecuación: (y + 2)²/9 − (x + 3)²/4 = 1
Orientación: Vertical: las ramas abren hacia arriba y abajo.
Centro: (−3, −2).
Vértices: (−3, −5) y (−3, 1).
Focos: (−3, −2 − √13) y (−3, −2 + √13); se usa c² = a² + b², por lo que c = √13.
Asíntotas: y + 2 = ±(3/2)(x + 3).
Comprobación: el punto (−1.5, 1.75) pertenece porque 3.75²/9 − 1.5²/4 = 1.
- 7
Ramas horizontales más abiertas
(x + 2)²/25 − (y − 3)²/4 = 1. Plano cartesiano didáctico a escala uniforme. Ecuación: (x + 2)²/25 − (y − 3)²/4 = 1
Orientación: Horizontal: las ramas abren a izquierda y derecha.
Centro: (−2, 3).
Vértices: (−7, 3) y (3, 3).
Focos: (−2 − √29, 3) y (−2 + √29, 3); se usa c² = a² + b², por lo que c = √29.
Asíntotas: y − 3 = ±(2/5)(x + 2).
Comprobación: el punto (4.25, 4.5) pertenece porque 6.25²/25 − 1.5²/4 = 1.
- 8
Ramas verticales con focos √41
(y + 1)²/25 − (x − 3)²/16 = 1. Plano cartesiano didáctico a escala uniforme. Ecuación: (y + 1)²/25 − (x − 3)²/16 = 1
Orientación: Vertical: las ramas abren hacia arriba y abajo.
Centro: (3, −1).
Vértices: (3, −6) y (3, 4).
Focos: (3, −1 − √41) y (3, −1 + √41); se usa c² = a² + b², por lo que c = √41.
Asíntotas: y + 1 = ±(5/4)(x − 3).
Comprobación: el punto (6, 5.25) pertenece porque 6.25²/25 − 3²/16 = 1.
- 9
Hipérbola rectangular trasladada
x²/4 − (y + 2)²/4 = 1. Plano cartesiano didáctico a escala uniforme. Ecuación: x²/4 − (y + 2)²/4 = 1
Orientación: Horizontal: las ramas abren a izquierda y derecha.
Centro: (0, −2).
Vértices: (−2, −2) y (2, −2).
Focos: (−2√2, −2) y (2√2, −2); se usa c² = a² + b², por lo que c = 2√2.
Asíntotas: y + 2 = ±x.
Comprobación: el punto (2.5, −0.5) pertenece porque 2.5²/4 − 1.5²/4 = 1.
- 10
Eje vertical y semieje conjugado 5
(y − 2)²/9 − (x − 2)²/25 = 1. Plano cartesiano didáctico a escala uniforme. Ecuación: (y − 2)²/9 − (x − 2)²/25 = 1
Orientación: Vertical: las ramas abren hacia arriba y abajo.
Centro: (2, 2).
Vértices: (2, −1) y (2, 5).
Focos: (2, 2 − √34) y (2, 2 + √34); se usa c² = a² + b², por lo que c = √34.
Asíntotas: y − 2 = ±(3/5)(x − 2).
Comprobación: el punto (5.75, 5.75) pertenece porque 3.75²/9 − 3.75²/25 = 1.
Qué es una hipérbola
Una hipérbola es el conjunto de puntos del plano para los que el valor absoluto de la diferencia de distancias a dos focos permanece constante. Esa constante es 2a. La curva tiene dos ramas separadas y un centro de simetría.
- Centro (h, k): punto medio entre los vértices y entre los focos.
- Vértices: puntos de cada rama más cercanos al centro.
- Focos: puntos fijos que intervienen en la definición; su distancia al centro es c.
- Asíntotas: rectas a las que las ramas se aproximan.
- Relación fundamental: c² = a² + b².
Una sección cónica produce una hipérbola cuando un plano corta las dos hojas de un cono doble. En geometría analítica, la ecuación permite construirla y comprobarla sin depender de una semejanza visual.
Cómo leer la ecuación y ubicar sus elementos
Primero lleva la ecuación a una forma con lado derecho igual a 1. El término positivo determina la orientación y el número bajo ese término es a². Esta lectura complementa la clasificación general de tipos de ecuaciones.
| Orientación | Forma estándar | Vértices | Asíntotas |
|---|---|---|---|
| Horizontal | (x − h)²/a² − (y − k)²/b² = 1 | (h ± a, k) | y − k = ±(b/a)(x − h) |
| Vertical | (y − k)²/a² − (x − h)²/b² = 1 | (h, k ± a) | y − k = ±(a/b)(x − h) |
- Identifica el centro: lee h y k recordando que los signos dentro de los paréntesis se interpretan al revés.
- Encuentra a y b: toma la raíz cuadrada de los denominadores positivos.
- Calcula c: usa c = √(a² + b²).
- Ubica vértices y focos: desplázalos desde el centro sobre el eje transversal.
- Dibuja las asíntotas: respeta la misma escala en ambos ejes para no deformar las pendientes.
Cómo comprobar si un punto pertenece a la hipérbola
Sustituye las coordenadas del punto en la ecuación ya normalizada. El punto pertenece a la curva solo cuando el lado izquierdo vale exactamente 1.
- Ejemplo que sí pertenece: para x²/9 − y²/16 = 1, el punto (3.75, 3) produce 3.75²/9 − 3²/16 = 1.5625 − 0.5625 = 1.
- Contraejemplo: el punto (3, 2) produce 3²/9 − 2²/16 = 1 − 0.25 = 0.75. Aunque está cerca del dibujo, no pertenece a la hipérbola.
Este procedimiento comprueba pertenencia, pero no sustituye la construcción completa. Para leer correctamente una representación, revisa también ejes y unidades en los ejemplos de gráficas.
Aplicaciones de la hipérbola
Las aplicaciones se reconocen por una relación matemática verificable, no porque un objeto tenga dos curvas abiertas.
- Navegación hiperbólica: una diferencia constante entre distancias o tiempos de llegada define una rama de hipérbola; la intersección de varias ramas permite estimar una posición.
- Órbitas no ligadas: en el modelo ideal de dos cuerpos, ciertos cometas y sondas siguen trayectorias hiperbólicas y no regresan periódicamente.
- Telescopios Cassegrain: su espejo secundario tiene una superficie hiperbólica; una sección por el eje muestra la curva correspondiente.
- Relación inversa: y = K/x es una hipérbola rectangular. Por ejemplo, en una isoterma ideal la presión cumple P = nRT/V cuando n y T permanecen constantes.
Un cable suspendido, en cambio, suele modelarse mediante una catenaria o una parábola según las condiciones; su apariencia no basta para clasificarlo como hipérbola.
Errores frecuentes al trabajar con hipérbolas
Estos fallos cambian la orientación, los focos o la verificación del plano.
Usar c² = a² − b²
Lo correcto: en la hipérbola se usa c² = a² + b²; por eso los focos quedan más lejos del centro que los vértices.
Leer el centro con el mismo signo
Lo correcto: (x + 3)² representa x − (−3), de modo que h = −3.
Confundir apariencia con ecuación
Lo correcto: comprueba la forma estándar, los focos o la diferencia de distancias; una curva abierta puede ser una parábola o una catenaria.
Ejercicios de hipérbolas
Responde los diez ejercicios y comprueba el criterio de cada respuesta. La práctica no cuenta entre los diez ejemplos editoriales.
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Sin comprobarPreguntas frecuentes sobre hipérbolas
¿Cómo sé si una hipérbola es horizontal o vertical?
Observa el término positivo: si contiene x, la hipérbola es horizontal; si contiene y, es vertical.
¿La hipérbola toca sus asíntotas?
En las formas estándar mostradas aquí, las ramas se aproximan a esas rectas cuando se alejan del centro, pero no las alcanzan.
¿Por qué c es mayor que a?
Porque c² = a² + b² y b² es positivo. Los focos quedan fuera del segmento que une los vértices.
¿Una hipérbola y una hipérbole son lo mismo?
No. La hipérbola es una curva matemática; la hipérbole es una figura literaria de exageración.
Información editorial y cita
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Editorial Ejemplode
Actualización
12 de enero de 2023
Publicado el 13 de febrero de 2013.
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